Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




Voorbeeld vermenigvuldigen van breuken

Ik had zo maar een voorbeeld genomen. Eerst voor het optellen van breuken en daarna met dezelfde breuken vermenigvuldigen van breuken. Ik had daarvoor $\frac{2}{3}$ en $\frac{3}{4}$ genomen. Maar ja, je moet natuurlijk samengestelde breuken kunnen vermenigvuldigen. Daarvoor had ik dan maar, om op één lijn te blijven, $2\frac{2}{3}$ en $3\frac{3}{4}$ genomen. En wat denk je? Komt gewoon 10 uit.:-)

$
\begin{array}{l}
 \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8}{{12}} + \frac{9}{{12}} = \frac{{17}}{{12}} = 1\frac{5}{{12}} \\
 2\frac{2}{3} + 3\frac{3}{4} = 2\frac{8}{{12}} + 3\frac{9}{{12}} = 5\frac{{17}}{{12}} = 6\frac{5}{{12}} \\
 \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{{2 \times 3}}{{3 \times 4}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2} \\
 2\frac{2}{3} \times 3\frac{3}{4} = \frac{8}{3} \times \frac{{15}}{4} = \frac{{8 \times 15}}{{3 \times 4}} = \frac{{120}}{{12}} = 10 \\
 \end{array}
$
...en dat laatste was een beetje een verrassing...:-)

Je kunt laten zien dat:

$
\left( {a + \frac{a}{{a + 1}}} \right)\left( {a + 1 + \frac{{a + 1}}{{a + 2}}} \right) = a(a + 3)
$

Dat kan zo;

$
\begin{array}{l}
 f(a) = a + \frac{a}{{a + 1}} = \frac{{a\left( {a + 2} \right)}}{{a + 1}} \\
 f(a + 1) = \frac{{\left( {a + 1} \right)^2  + 2\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right) + 1}} = \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{a + 2}} \\
 f(a) \cdot f(a + 1) = \frac{{a\left( {a + 2} \right)}}{{a + 1}} \cdot \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{a + 2}} = a(a + 3) \\
 \end{array}
$
Ook aardig:

$
f(a) \cdot f(a + 1) \cdot f(a + 2) = a^3  + 6a^2  + 8a
$

Of ook:

$
\begin{array}{l}
 a^2  + 3a \\
 a^3  + 6a^2  + 8a \\
 a^4  + 10a^3  + 31a^2  + 30a \\
 {\rm{a}}^{\rm{5}}  + 15a^4  + 80a^3  + 180a^2  + 144a \\
 {\rm{a}}^{\rm{6}}  + 21a^5  + 169a^4  + 651a^3  + 1198a^2  + 840a \\
 ... \\
 \end{array}
$

Of nog mooier:

$
\begin{array}{l}
 a\cdot(a + 3) \\
 a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}4) \\
 a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}5) \\
 a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}4)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}6) \\
 a\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}2)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}4)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}5)\cdot(a{\rm{ }} + {\rm{ }}7) \\
 ... \\
 \end{array}
$

Ik bedoel maar:

$
2\frac{2}{3} \cdot 3\frac{3}{4} \cdot 4\frac{4}{5} \cdot 5\frac{5}{6} \cdot 6\frac{6}{7} \cdot 7\frac{7}{8} \cdot 8\frac{8}{9} \cdot 9\frac{9}{{10}} = 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 12
$

©2004-2024 W.v.Ravenstein