Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




Exponentiele vergelijkingen

Op WisFaq stond een vraag over de oplossing van een exponentiele vergelijking. Ik weet niet helemaal zeker wat nu precies de vraag was en 't leek later ook weer anders, maar ik had het gelezen als:

De vergelijking $5^{x - 1}  + 5^{2x - 1}  = 4$ heeft als oplossing $x = {}^5\log (4)$. Is dat nu toevallig? Of is dat altijd zo?

Er zijn er meer:

  • $7^{x - 1}  + 7^{2x - 1}  = 6 \to x = {}^7\log (6)$
  • $9^{x - 1} + 9^{2x - 1} = 8 \to x = {}^9\log (8)$
  • $13^{x - 1}  + 13^{2x - 1}  = 12 \to x = {}^{13}\log (12)$

Maar er zijn ook anderen:

  • $6^{x - 1}  + 6^{2x - 1}  = 22 \to x = {}^6\log (11)$
  • $10^{x - 1}  + 10^{2x - 1}  = 21 \to x = {}^{10}\log (14)$
  • $10^{x - 1}  + 10^{2x - 1}  = 24 \to x = {}^{10}\log (15)$
  • $15^{x - 1}  + 15^{2x - 1}  = 6 \to x = 2 \cdot {}^{15}\log (3)$

Dus nee, dat is niet altijd zo. Maar misschien wel als het rechterlid 1 kleiner is dat het grondtal?

En wat denk je? Voor $a\gt1$:

$a^{x - 1}  + a^{2x - 1}  = a - 1\to x = {}^a\log (a - 1)$.

Bewijs

$
\begin{array}{l}
 a^{x - 1}  + a^{2x - 1}  = a - 1 \\
 a^{2x - 1}  + a^{x - 1}  = a - 1 \\
 a^{2x}  + a^x  = a^2  - a \\
 \left( {a^x  + \frac{1}{2}} \right)^2  - \frac{1}{4} = a^2  - a \\
 \left( {a^x  + \frac{1}{2}} \right)^2  = a^2  - a + \frac{1}{4} \\
 a^x  + \frac{1}{2} = a - \frac{1}{2} \\
 a^x  = a - 1 \\
 x = {}^a\log (a - 1) \\
 \end{array}
$
Ik bedoel maar. Er is altijd veel meer te ontdekken dan je denkt.

©2004-2024 W.v.Ravenstein