2. hogeregraadsvergelijkingen

Het aantal oplossingen van xn=a

n is even
a$>$0

q6883img1.gif


2 oplossingen

n is oneven
a$>$0

q6883img3.gif

1 oplossing

n is even
a$<$0

q6883img2.gif

geen oplossing

n is oneven
a$<$0

q6883img4.gif


1 oplossing

Voorbeelden

$
\eqalign{
&x^6=80\cr
&x=\root6\of{80}\vee x=-\root6\of{80}\cr
&x\approx2,08\vee x\approx-2,08\cr}
$
$
\eqalign{
&2x^7=20\cr
&x^7=10\cr
&x=\root7\of{10}\approx1,39\cr}
$
$
\eqalign{
&4x^{10}+10=6\cr
&4x^{10}=-4\cr
&x^{10}=-1\cr}
$
geen oplossing
$
\eqalign{
&\frac{2}
{3}x^3=-2\cr
&x^3=-6\cr
&x=\root3\of{-6}\approx-1,82\cr}
$

Hogeremachtswortels herleiden

Wortels die mooi uitkomen moet je herleiden. Bij het algebraisch oplossen van de vergelijking $3(2x+1)^6=192$ ga je net zo te werk als bij het oplossen van $3x^6=192$.

$
\eqalign{
  & 3\left( {2x + 1} \right)^6  = 192  \cr
  & \left( {2x + 1} \right)^6  = 64  \cr
  & 2x + 1 = 2 \vee 2x + 1 =  - 2  \cr
  & 2x = 1 \vee 2x =  - 3  \cr
  & x = {1 \over 2} \vee x =  - 1{1 \over 2} \cr}
$

Hogeregraadsvergelijkingen en ontbinden in factoren

Vergelijkingen als 12x4=2x3 kan je oplossen met behulp van ontbinden in factoren.

Voorbeeld

$
\eqalign{
&12x^4=2x^3\cr
&12x^4-2x^3=0\cr
&2x^3\left({6x-1}\right)=0\cr
&2x^3=0\vee6x-1=0\cr
&x^3=0\vee6x=1\cr
&x=0\vee x=\frac{1}
{6}\cr}
$

Hogeregraadsvergelijkingen en substitutie

De vergelijking $x^4-x^2-2=0$ is algebraisch op te lossen met een substitutie. Neem voor $x^2$ bijvoorbeeld $y$. Je krijgt dan:

$x^4-x^2-2=0$
Neem $y=x^2$
$y^2-y-2=0$
$(y-2)(y+1)=0$
$y=2$ of $y=-1$
Nu weer terug
$x^2=2$ of $x^2=-1$ (v.n)
$x=-\sqrt{2}$ of $x=\sqrt{2}$

Voorbeeld 2

$
\eqalign{
&2x^7-4x^3=0\cr
&2x^3\left({x^4-2}\right)=0\cr
&2x^3=0\vee x^4-2=0\cr
&x^3=0\vee x^4=2\cr
&x=0\vee x=\root4\of2\vee x=-\root4\of2\cr}
$

©2004-2020 W.v.Ravenstein