Actueel
Archief
Culinair
Didactiek
Documentatie
Etalage
Formules
Fotoboeken
Functies
Geschiedenis
ICT
ICTauteur
Laatste nieuws
Lesmateriaal
Muziek
Natuur
Onderwijs
Ontspanning
Persoonlijk
Probleemaanpak
Proeftuin
Puzzels
Rekenen
Rekenmachines
Ruimtemeetkunde
Schoolwiskunde
Snippers
Systeem
Taal van de wiskunde
Vergelijkingen
Verhalen
WisFaq
WisKast




5. lineaire differentievergelijkingen van de tweede orde

Lineaire differentievergelijking van de tweede orde

Een recursieve formule van de vorm:

$u_n=a\cdot u_{n-1}+b\cdot u_{n-2}$ met $b\ne 0$

is een lineaire differentievergelijking van de tweede orde. De term $u_n$ is uitgedrukt in de twee voorafgaande termen.

Voor het opstellen van de directe formule van de rij substitueer je $u_n=g^n$ in de differentievergelijking.

Voorbeeld 1

Gegeven:

$u_n=u_{n-1}+2u_{n-2}$ met $u_0=5$ en $u_1=4$

  • Geef de directe formule.

Zie uitwerking voorbeeld 1

Opstellen van de directe formule

Het opstellen van de directe formule bij de rij

  • $u_n=a\cdot u_{n-1}+b\cdot u_{n-2}$

met startwaarden $u_0$ en $u_1$:

  1. Substitueren van $u_n=g^n$ geeft de karakteristieke vergelijking
    $g^2-ag-b=0$ met $D=a^2+4b$
  2. Is $D\gt0$ dan zijn er twee reële oplossingen $g_1$ en $g_2$ en is de directe formule van de vorm:
    $u_n=A\cdot(g_1)^n+B\cdot(g_2)^n$
  3. Is $D=0$ dan is er één reële oplossing $g$ en is de directe formule van de vorm:
    $u_n=(A+Bn)\cdot g^n$
  4. Is $D\lt0$ dan zijn er geen reële oplossingen.(*)
  5. Je berekent $A$ en $B$ met behulp van de startwaarden $u_0$ en $u_1$

Stelsels differentievergelijkingen

Beschouw een stelsel van lineaire differentievergelijkingen van deze vorm:

$
\left\{ \begin{array}{l}
x_n=a\cdot x_{n-1}+b\cdot y_{n-1}\\
y_n=c\cdot x_{n-1}+d\cdot y_{n-1}\\
\end{array} \right.
$

Hieruit kan je een lineaire differentievergelijking van de tweede orde afleiden. Met behulp van de startwaarden $x_0$ en $y_0$ kan je een directe formule opstellen.

Voorbeeld 2

Gegeven is het volgende stelsel differentievergelijkingen met $x_0=10$ en $y_0=20$:

$
\left\{ \begin{array}{l}
x_n=x_{n-1}+2y_{n-1}\\
y_n=-x_{n-1}+4y_{n-1}\\
\end{array} \right.
$

Stel de directe formule op van $x_n$

(*) In het geval $D\lt0$ zijn de oplossingen complex. In deel 4 leer je hoe je in dit geval de directe formule opstelt.

©2004-2024 W.v.Ravenstein